原题链接
给定一个长度为$N$的数列，$A_1,A_2,…A_N$，如果其中一段连续的子序列 $A_i,A_{i+1},…A_j$之和是$K$的倍数，我们就称这个区间$[i,j]$是$K$倍区间。

你能求出数列中总共有多少个$K$倍区间吗？

分析

暴力做法

套两个循环，每个循环使用sum去求和然后取余，时间复杂度为$O(n^3)$

前缀和

使用前缀和可以优化到重复的求和部分，但是这样也需要两层循环遍历，时间复杂度为$O(n^2)$

优化前缀和

在基本前缀和的两层循环中，判断某一范围之和是否余数为0实际上是使用$a[i]-a[j] \ mod\ K \equiv 0$来判断的，再进一步思考实际上就是$a[i]$和$a[j]$同余才可以。这样完全可以再开辟一个数组，用来存放$a[i]\ mod\ K$的值，这样只需要遍历这个数组一遍即可，时间复杂度为$O(n)$。

代码实现

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 100001;
LL a[N], n, k;
int cnt[N];
int main() {
    scanf("%d%d", &n, &k);
    for(int i = 1; i <= n; ++i) {
        int x;
        scanf("%d", &x);
        a[i] = a[i-1] + x;
    }
    LL res = 0;
    for(int i = 0; i <= n; ++i) {
        res += (LL)cnt[a[i] % k];
        cnt[a[i] % k]++;
    }
    printf("%lld", res);
    return 0;
}

注意点

观察数据范围，判断是否会爆int，是否需要使用long long来储存。

反思：还是不会分析问题，同时过于依赖代码评测的报错。